Практически задачи по темата тригонометрични функции. Практическа работа по раздела "основи на тригонометрията"
Покропаева О.Б.
учител по математика
GBOU средно училище №47 Санкт Петербург
Задачи за устна работапо тази тема
Една от основните характеристики на продължаващата трансформация училищна системаобразованието е неговата насоченост към цялостното развитие на личността на всеки ученик. И това изисква радикална актуализация на предишните форми, методи, учебни помагала, характерни за уроците, чиято основна цел е да научат учениците още един начин за решаване на всякакъв вид проблем или да ги запознаят с друг, по никакъв начин "свързан" към всички предишни, нови концепции.
Основната цел на училищното математическо образование трябва да бъде развитието на логическото, творческо мислене на учениците, а не на шаблоните. И основното средство за постигане на тази цел са задачите. Всъщност една от основните цели на задачите и упражненията е да активират умствена дейностученици в урока. Математически задачитрябва преди всичко да събуди мисълта на учениците, да я накара да работи, да се развива, да се подобрява.
Ето защо целта на тази работа беше да се създаде система от устни задачи за изучаване на темата "Тригонометрични функции", която да отговаря на всички горепосочени изисквания.
В учебника „Алгебра-10 "(Алимова Ш.А.) Повече ▼задачи е насочена към изчислителна дейност за отговор, докато задачи с елементи на изследване и задачи за усвояване математически понятияпредставени в недостатъчен брой. Във връзка с това, Ие разработена система от устни задачи, допълващи задачите от учебника, по най-богатите по съдържание раздели на темата „Тригонометрични функции“, която е представена в работата. За всяка задача на системата са дадени методически коментари (в какви образователни ситуации е препоръчително да се използва, включително като се вземе предвид диференциацията на профила).
Задачи за устна работа и методически коментари към тях
Едно от средствата, които допринасят за по-доброто усвояване на математиката, са устните задачи (да не се бъркат с устна сметка). С тяхна помощ учениците по-ясно разбират същността на математическите понятия, теореми, математически трансформации.
Устните задачи активират умствената дейност на учениците, развиват вниманието, наблюдателността, паметта, речта, скоростта на реакцията, повишават интереса към изучавания материал. Те дават възможност за изучаване на голямо количество материал за по-кратък период от време, позволяват на учителя да прецени готовността на класа да изучава нов материал, степента на неговото усвояване и помагат да се идентифицират грешките на учениците.
Провежда се в началото на урока устни упражненияпомагат на учениците бързо да се включат в работата, в средата или в края на урока те служат като вид релакс след напрежение и умора, причинени от писмена или практическа работа. В хода на изпълнението на тези задачи учениците по-често, отколкото на други етапи от урока, получават възможност да отговарят устно, което от своя страна допринася за формирането на тяхната компетентна математическа реч. В същото време те веднага проверяват правилността на отговора си. За разлика от писмените задачи, съдържанието на устните задачи е такова, че тяхното решаване не изисква Голям бройразсъждения, трансформации, тромави изчисления. Но междувременно те отразяват важни елементи от курса.
При организиране на устни фронтални упражнения, за да спестите време в урока, е препоръчително да използвате проектор или друго мултимедийно оборудване.
Тук ще бъде представена система от устни задачи, допълващи задачите от учебника, според най-богатите раздели на темата "Тригонометрични функции". Те включват:
1. Завъртете точка около началото.
2. Дефиниции на синус, косинус и тангенс.
3. Формули за редукция.
4. Най-простите тригонометрични уравненияи неравенства.
6. Преобразуване на графики на тригонометрични функции.
7. Обратни тригонометрични функции.
8. Производни на тригонометрични функции
Тази система включва:
въпроси за качеството;
Задачи.
Първият може да се използва не само за фронтална устна работа, но и за самостоятелна индивидуална и групова работа.
Предложените задачи могат да се използват от учителя както при подготовката за изучаване на нов материал, така и при първоначалното запознаване, консолидиране и премахване на пропуски в знанията на учениците.
При конструирането на системни проблеми често се използват обратни задачи, когато според решението е необходимо да се представи обект. Например, като решите уравнение, съставете самото уравнение. Такива задачи ще допринесат за по-доброто разбиране на разглежданите понятия от учениците.
В допълнение, визуалните изображения се използват в много задачи, което също позволява да се възприема обектът, който се изучава, като неразделен феномен и като набор от неговите свойства. Това също трябва да допринесе за по-доброто разбиране на понятията, свойствата и явленията, които се изучават.
Задачите, съставляващи системата, съответстват на различни ниватрудности. Трудността на задачата е посочена с главни букви. с латински букви A, B или C. Съответно най-много има задачата с индекс C високо нивотрудности.
Задачите в системата са представени в съответствие с предварително избраните раздели. И за задачите на всеки раздел са дадени методически коментари (в какви образователни ситуации е препоръчително да се използват, включително като се вземе предвид диференциацията на профила).
1. Завъртете точка около началото
Въпроси за качеството:
1. На кой въпрос трябва да се отговори утвърдително:
A) Може ли AOB да бъде 2 радиана?
B) Може ли големината на дъгата AB да бъде равна на 0 радиана?
Б) Вярно ли е, че Р 11 π \u003d R -10 π?
Г) Вярно ли е, че Р 9 π \u003d R -7 π?
2. Кое от твърденията е грешно:
A) Ако t 2 \u003d t 1 + π , тогава ординатите на точките P t2 и P t1 са противоположни числа.
B) Ако t 2 \u003d t 1 + π , тогава абсцисите на точките P t2 и P t1 са противоположни числа.
В) Ако t 1 = π-α, t 2 = π+α, където α , тогава ординатите на точките P t1 и P t2 са противоположни числа.
Г) Ако точките P t1 и P t2 съвпадат, то числата t 1 и t 2 са равни.
Устни задачи:
3. Определете координатите на точките от единичния кръг:
А) P 90; б) P 180; в) R 270; г) Р -90; д) Р -180; д) Р -270.
4. Нека A(1;0), B(0;1), C(-1;0), D(0;-1). Коя от дадените точки се получава чрез завъртане на точката (1; 0) на ъгъл:
А) 450 o ; б) 540 o ; в) -720 o?
коментари:
Задачи 3 и 4 (сложност А)имат обучителен характер и могат да бъдат предложени на студентите веднага след изучаване на тази тема. Освен това задача 3 може да се използва при подготовката за изучаване на темата „Определения за синус, косинус и тангенс“ в началото на урока (ако определенията се въвеждат с помощта на единична окръжност).
Въпроси 1 и 2 - сложност В - поради което е неуместно да се изнасят за устна фронтална работа в общообразователен час. Но те могат да се използват като допълнителни въпроси в общия урок на темата "Елементи на тригонометрията". Въпреки това, в математически клас такива въпроси могат да се използват при фронтална работа с ученици веднага след изучаване на темата.
2. Дефиниции на синус, косинус и тангенс
Въпроси за качеството:
1. Може ли синусът на ъгъл да бъде равен на:
А) -3,7; б) 3,7; в) ; G)
?
2. Може ли косинусът на ъгъл да бъде равен на:
А) 0,75; б) ; в) -0,35; G)
?
3. На какви стойностиа и б са верни следните равенства:
Cos грях
tg
грях ctg
cos
?
4. Възможни ли са равенства:
2-грях =1,7tg
?
Устни задачи:
5. Гледайки картинката, определете буквата, която отговаря на:
А) грях 220 o
Cos
б) cos 80 o sin80 o
cos (-280o) sin800o
Cos 380 o sin (-340 o )
коментари:
Задачи 1-5 (трудностисъответно A, A, C, B, B) препоръчително е да се предлагат на учениците веднага след въвеждането на дефинициите на основните тригонометрични функции върху единичната окръжност. Упражнение 3 може да създаде трудност за учениците от общообразователен клас поради факта, че е необходимо да се работи с параметриа и б затова не трябва да се изнася за устна фронтална работа, а след анализ на един пример на дъската можете да включите посочената задача в писмената работа в урока.
Методическа стойност на задачата 5 , и се състои в многократния избор на верния отговор. Упражнение 5 ,b, с изключение на посочената тема, може да се използва при подготовката за изучаване на темата "Формули за редукция":
cos 80 o \u003d cos (80 o -2 π) \u003d cos (-280 o)
sin 80 o \u003d sin (80 o +4 π) \u003d sin 800 o
Във връзка с видимостта и достъпността на задачата 5 може да се използва при работа с хуманитарния клас.
3. Формули за редукция
Устни задачи:
1. Намерете α, ако 0 o α о и
A) sin 182 o \u003d - sin α; б) cos 295 o \u003d cos α.
2. Намерете множество стойностиα ако:
а) sin α \u003d sin 20 o; б) cos α = - cos 50 o ; в) tg α = tg 70 o .
коментари:
Предложени задачи (трудност B) включват използването на формули за намаляване в нестандартна ситуация. В тази връзка тези задачи могат да бъдат предложени на учениците на етапа на фиксиране на тази тема. Освен това,те могат да се използват при изучаване на темата"Периодичност". За класа по хуманитарни науки задачи 1,2 могат да бъдат опростени с помощта на единична окръжност:
Подобно на 1, а). Подобно на 2b), c).
4. Най-простите тригонометрични уравнения и неравенства
Устни задачи:
1.1. Назовете поне едно уравнение, чието решение са числа:
A) π n, n ; в)
; д) π +2 π n, n
B) 2 π n, n ; G)
;
1.2. Решенията на чиито тригонометрични уравнения са показани на следните диаграми:
2. Е числоπ коренът на уравнението:
НО) ; б)
?
3. Използвайте неравенства, за да запишете множеството от всички точких лежи върху дъгата:
A) BmC; в) BCD;
B) C&D; г) CDA.
4. Решенията на чиито тригонометрични неравенства са показани на следните диаграми:
коментари:
Задачи 1.1, 1.2 ( сложности А) имат репродуктивен характер и могат да се използват за контрол на знанията на учениците след изучаване на темата "Прости тригонометрични уравнения". За хуманитарния клас е по-целесъобразно да се използва задача 1.2 поради нейната видимост. Задача 1.2 е противоположна на задачи от типа: "Решете уравнението: sin x = -1 налични в учебниците. Развива у учениците способността да четат такива диаграми и разкрива значението на тригонометричните уравнения върху единична окръжност.
Задача 2 (сложност B) може да се използва за първично затвърдяване на определена тема в час по математика или в общ урок в общообразователен (или хуманитарен) клас.
Задача 3 (сложност А) може да се предложи на учениците в началото на урока, непосредствено преди изучаването на темата „Прости тригонометрични неравенства“.
Задача 4 (сложност Б) е обратната на задачи от вида: „Решете неравенството: sinx ≤ 0,5”, наличен в учебниците, формира умението на учениците да четат такива диаграми и разкрива смисъла на тригонометричните неравенства върху единична окръжност. С такива задачи можете да започнете да изучавате темата " Тригонометрични неравенства» както в часовете по хуманитарни науки, така и в часовете по математика.
5. Изучаване на тригонометрични функции.
5.1. Периодичност.
Въпроси за качеството:
- Може ли даден интервал (или обединение на интервали) да бъде домейн на периодична функция:
а) (- ; в)
; д)
?
б) ; G)
;
2. Вярно ли е твърдението:
а) периодична функция може да има крайно числопериоди;
б) ако числото T е периодът на функцията f(x), тогава числото 2T също е периодът на тази функция;
в) ако T 1 и T 2 – периоди на функцията f(x), тогава числото Т 1 + Т 2 също и периода на тази функция?
Посочете невярно твърдение:
а) нарастваща функция не може да бъде периодична;
б) намаляваща функция не може да бъде периодична;
в) периодична функция има безкраен брой корени;
г) периодична функция не може да има краен набор от корени.
Устни задачи:
4. Коя от функциите не е периодична:
а) в)
д)
;
б) ; G)
; д)
?
5. Коя функция има най-малък положителен период по-голям от 2π :
а)
б)
в)
G) ?
6. Определете периода на функцията, чиято графика е показана на фигурата:
коментари:
Въпроси 1-3 (сложност C) могат да бъдат предложени на учениците от математическия клас веднага след въвеждането на концепцията за периодична функция. Учителят може да ги използва, за да определи степента на осъзнаване на това понятие от учениците.
Задача 4 (сложност Б) е от общ характер и затова може да бъде предложена на учениците в редовен клас на общ урок по темата „Периодичност на тригонометричните функции“.
Задача 5 (сложност С) може да се използва за устна фронтална работа само в час по математика. В общообразователния час тази задача трябва да се предаде за писмена работа.
Задача 6 (сложност А) е предназначена за ученици от хуманитарния клас. Има учебен характер и може да се предложи на студентите веднага след изучаване на тази тема.
5.2. Паритет
Въпроси за качеството:
- Кое твърдение е грешно:
а) сумата от две четни числаР функции има четна функция;
б) разликата на две четни числа наР функции е четна функция;
в) произведението на две четни числа поР функции е четна функция;
г) всяка функция е четна или нечетна.
Устни задачи:
- Посочете графиката на нечетната функция:
- Кое от определени функциие странно:
;
;
;
?
Практическа работа №1
Тема: Радианова мярка за ъгъл.
Цели:
Да се запознаят с основните измервания на ъгъл, понятието радиан, основните формули за изразяване на ъгли в градуси и радиани;
Научете как да използвате формули за преобразуване на ъгли в градуси и
радиани.
Времева норма: 2 часа
Оборудване:карта с инструкции
Напредък:
Както знаете, ъглите се измерват в градуси, минути, секунди. Тези измервания са взаимосвързани чрез отношенията
Освен посочените се използва и единица за измерване на ъгли, т.нар радиан.
Ъгъл от един радиан се нарича централен ъгъл, който съответства на дължина на дъгата, равна на дължината на радиуса на окръжността. На фигурата е показан ъгъл, равен на 1 rad.
Радианната мярка на ъгъл, т.е. стойността на ъгъла, изразена в радиани, не зависи от дължината на радиуса. Това следва от факта, че фигурите, ограничени от ъгъл и дъга от окръжност с център във върха на този ъгъл, са подобни една на друга.
Нека установим връзка между измерванията на ъгли в радиан и градус.
Ъгъл, равен на 180 0, съответства на полукръг, т.е. дължината на дъгата лкоето е равно на R: л=R.
За да намерите радианова мярка на този ъгъл, ви трябва дължината на дъгата л разделено на дължината на радиуса R. Получаваме:
Следователно, радианова мярка на ъгъл в 180 0 \u003d радвам се.
Оттук получаваме, че радианната мярка на ъгъла при 1 0 е:
Приблизително 1 0 равно на 0,017 рад.
От равенството 180 0 = радвам сеот това също следва, че градусната мярка на ъгъл от 1 rad е равна на
1 рад=
Приблизително 1 рад е равен на 57 0 .
2. Разгледайте примери за преход от мярка в радиан към мярка в градус и от мярка в градус към мярка в радиан.
Пример 1Изразете в градуси 4,5 rad.
Решение
От 1 радвам се=, след това 4,5 радвам се= 4,5=258 0 .
Пример 2Намерете мярката в радиан на ъгъла при 72 0 .
Решение
Тъй като , тогава 72 0 =72 радвам се=радвам се 1,3 радвам се.
Коментирайте. Когато записвате радианова мярка за ъгъл, нотацията радвам сечесто се пропуска.
3. Изпълнете задачите.
1) Изразете ъглите в радиани 30 0 , 45 0 , 60 0 , 90 0 , 270 0 , 360 0 .
2) Попълнете таблицата:
3) Намерете градусната мярка на ъгъл, чиято радианова мярка е равна 0,5; 10; ;
; ; ; ; 12 .
4) Намерете радианната мярка на ъгъла, равен на 135 0 , 210 0 , 36 0 , 150 0 , 240 0 , 300 0 ,
-120 0 , -225 0 .
5) Изчислете:
Практическа работа №2
Тема: Основни тригонометрични формули.
Цели:
Да се запознаят с основните тригонометрични формули;
Научете се да използвате тригонометрични формули при опростяване и преобразуване тригонометрични изрази, намиране на стойностите на тригонометричните функции от една от известните.
Времева норма: 2 часа
Оборудване:карта с инструкции, основни формули на тригонометрията, материал за справкачрез тригонометрия.
Напредък:
1. Запознайте се с основните формули на тригонометрията, запомнете знаците на тригонометричните функции в координатните четвърти
2. Използвайки основните формули на тригонометрията, опростете следните изрази:
3. Използвайки референтен материал по тригонометрия и примерни решения, намерете стойностите на тригонометричните функции, като използвате една от известните. Изпълнете задачите според вариантите.
Опция 1
Намирам: .
Намирам: .
Вариант 2
Намирам: .
Намирам: .
Практическа работа №3
Тема: Приложение тригонометрични формулиза трансформиране на изрази.
Цели:
Развийте умения за използване на тригонометрични формули при опростяване и преобразуване на тригонометрични изрази.
Времева норма: 2 часа
Оборудване:карта с инструкции, справочен материал по тригонометрия.
Напредък:
Използвайте справочния материал за изпълнение на задачите
1. Докажете самоличността:
а);б)
2. Опростете тригонометричните изрази:
3. Докажете, че за всички допустими стойности стойността на израза
не зависи от: а); б)
4. Преобразувайте тригонометрични изрази:
b) в)
G) д) д)
5. Опростете изразите:
G) д) д)
Материал за справка
Основни формули
Допълнителни формули
Практическа работа №4
Тема: Актьорски формули
Цели:
За да се запознаете с понятието формули за редукция, правилото,
който може да се използва за записване на всяка формула за редукция
без да се прибягва до маса;
Научете се да използвате правилото за прилагане на формули за редукция, привеждане на изрази към тригонометричната функция на ъгъл.
Времева норма: 2 часа
Оборудване:карта с инструкции, формули за редукция, справочен материал по тригонометрия.
Напредък:
1. Запознайте се с основните въпроси на темата.
Тригонометричните функции на зрителните ъгли могат да бъдат изразени чрез ъглови функции с помощта на формули, наречени формули за намаляване.
2. Таблицата съдържа формули за редукция на тригонометрични функции.
| Функция (ъгъл в º) | 90º - α | 90º + α | 180º - α | 180º + α | 270º - α | 270º + α | 360º - α | 360º + α |
| Функция (ъгъл в рад.) | π/2 – α | π/2 + α | π – α | 3π/2 – α | 3π/2 + α | 2π-α | 2π + α |
Следвайте таблицата за моделите, които се срещат при формулите за намаляване, запишете ги в тетрадка:
Функцията от дясната страна на равенството се приема със същия знак като оригиналната функция, ако приемем, че ъгълът е ъгълът на първата четвърт;
За ъгли името на оригиналната функция се запазва;
За ъгли се заменя името на оригиналната функция (синус към косинус, косинус към синус, тангенс към котангенс, котангенс към тангенс).
3. Помислете за пример за използване на модели за формули за намаляване:
Упражнение:Изразете tg(-) чрез тригонометричната функция на ъгъла.
Решение:
Ако приемем, че това е ъгълът на I четвърт, тогава - ще бъде ъгълът на II четвърт, във втората четвърт тангенсът е отрицателен, което означава, че знакът минус трябва да се постави от дясната страна на равенството . За ъгъла се запазва -името на оригиналната функция "тангенс". Следователно tg(-)=-tg
3. Изпълнете следните задачи:
1) Приведете до тригонометричната функция на ъгъла от 0˚ до 90˚:tg137˚,грях(-178˚),грях680˚cos(-1000˚)
2) Намерете стойността на израза: грях240˚cos(-210˚),tg300˚грях330˚ctg225˚грях315˚
Опростете израза:
4) Трансформирайте израза:
а)грях(90˚-α )+ cos(180˚+α )+ tg(270˚+α )+ ctg(360˚+α )
умения:
4. използвайте оценка и оценка в практически изчисления.
Времеви лимит: 6
Напредък.
1.1 Цели числа и рационални числа
1. 4064,5: 5,5 – 7,6 89,6
3. 82,8 0,54 – 7,54: 6,5
4. 25,3 5,3 – 556,272: 4,8
5. 32,6 15,6 – 7230,912: 5,2
6. 4976,748: 8,7 – 5,8 97,3
7. ,75
9. 
1.2 Реални числа
Намерете стойността на израз
1. a 3 - ba 2 с a \u003d 6, b \u003d 0,4
2. 3a 3 - 6ba 2 при a = -1, b = 0,8
3. x 2 + bx при x \u003d -6, b \u003d 0,4
4. ba 3 - b 2 a с a \u003d 6, b \u003d -4
5. при х = -5; y = 3
6. a 2 - ba 3 с a = 4, b = 0,4
7. при x = 4; y = 8
8. при х = 8; y = -3
1.3 Приблизителни изчисления
Закръглени числа до стотици, единици, десети, стотни, хилядни: 3620.80745; 208,4724; 82.30065; 0,03472
Форма за отчитане.Бумащина.
Тестови въпроси.
- Кои числа се наричат цели?
- Кои числа се наричат естествени?
- Кои числа се наричат рационални?
- Кои числа се наричат ирационални?
- Какви са реалните числа?
- Какво представляват комплексните числа?
Литература.
Оценка на резултатите от работата.Работа на входен контрол
ПРАКТИКА #2
Тема:Тригонометрични изрази
Цел:Научете как да конвертирате тригонометрични изрази с помощта на основни формули.
Времеви лимит: 10
Учебно-методическо оборудване на работното място:справочни таблици, Раздавателен материал.
Напредък.
2. 1. Основни тригонометрични функции. Радианова мярка за ъгъл.
1. Изчислете с помощта на таблицата:
2. Определете знака на израза:
- Изразете в градуси:
2. Изразете в радиани;
135 0 ; 210 0 ; 36 0 ; 150 0 ; 240 0 ; 300 0 ; -120 0 ;
225 0 ;10 0 ;18 0 ; 54 0 ;200 0 ; 390 0 ;-45 0 ; -60 0
3. Изчислете:
| а) 2 sin + tg; б) cos-sin ; в) cos π - 2 sin; г) 2 cos + tg π ; | д) sin 2 + sin 2; е) cos 2 - cos 2; g) tg 2 sin tg 2; з) tg cos 2 sin; i) cos + sin 2. |
4. Намерете стойността на израза:
| а) 2 грях π -2 cos + 3tg - ctg; б) sin(-) + 3 cos - tg + ctg ; в) 2 sin - 3 tg + ctg (- )-tg π ; г) 2 tg (-) + 2 sin - 3 tg 0 - 2 ctg; д) 5 sin + 4 cos 0 - 3 sin + cos π ; д) грях (- π) -2 cos(- ) + 2 грях 2 пи-tg π ; g) 3 - sin 2 + 2 cos 2 - 5 tg 2; з) 3 sin 2 - 4tg 2 - 3 cos 2 + 3 ctg 2 |
Актьорски формули
Заменете с тригонометрична функция на ъгъл
2. Намерете стойността на израза
| a) sin 240 0 b) cos (-210 0) | в) tg 300 0 г) sin 330 0 | e) stg (-225 0) f) sin 315 0 |
3. Опростете израза
| a) sin(α - ) b) cos( α – π ) | c) ctg(α - 360 0) d) tg(-α + 270 0) |
4. Трансформирайте израза
а) грях 2 ( π +α); б) тен 2 (+ α); в) cos 2 ( - α)
5. Опростете израза
a) sin(90 0 - α) + cos(180 0 + α) + tg(270 0 + α) + ctg(360 0 + α)
б) sin( + α) - cos( α – π ) + tg( π - α) + ctg( - α)
в) sin 2 (180 0 - α) + sin 2 (270 0 - α)
г) грях ( π -α) cos( α – ) - sin(α + ) cos( π –α)
д) 
д) 
и) 
з) 
Формули за добавяне
1. Използвайте формулите за събиране, за да преобразувате изразите
a) cos(; b) sin(; c) cos(; d) sin(;
д) cos(60 0 + α) f) sin(60 0 + α) g) cos((30 0 - α) h) sin(30 0 - α)
2. Представете си 105 0 като сбор от 60 0 + 45 0 и намерете cos 105 0, sin105 0
3. Представете си 75 0 като сбор от 30 0 + 45 0 и намерете cos 75 0 , sin75 0
4. Намерете стойността на израза
| a) cos107 0 cos17 0 + sin107 0 sin17 0 b) cos24 0 cos36 0 - sin24 0 sin36 0 c) cos18 0 cos63 0 + sin18 0 sin63 0 | d) sin63 0 cos27 0 + cos63 0 sin27 0 e) sin51 0 cos21 0 – cos51 0 sin21 0 f) sin32 0 cos58 0 + cos32 0 sin58 0 |
5. Опростете израза
| a) sin( - α) - cos α b) sinβ + cos (α - ) | в) cosα – 2cos(α - ) г) sin( + α) – cos α |
6. Докажете това
а) sin(α + β) + sin(α - β) = 2 sin α cos β
б) cos(α - β) + cos(α + β) = 2 sin α sin β
в) sin(α + β) sin(α - β) = sin 2 α - sin 2 β
г) cos(α – β) cos(α + β) = cos 2 α – cos 2 β
Формули за двоен ъгъл.
Опростете израза
| а) б) | в) г) cos2α + sin 2 α | д) cos 2 α - cos2α д)  |
2. Намалете фракцията
a B C) 
G) 
3. Опростете
а) б) 
в) 
г) sin 2 α + cos2α
4. Опростете израза
5. Изчислете
| a) 2 sin15 0 cos15 0 b) 4 sin105 0 cos105 0 c) 2 sin cos | г) cos 2 15 0 – sin 2 15 0 e) 4cos 2 – 4sin 2 | f) cos 2 - sin 2 g) 2 sin165 0 cos165 0 h) cos 2 75 0 - sin 2 75 0 |
6. Нека sinα = и α е ъгълът на втората четвърт. Намерете cos2α; sin2α; tg2α
7. Нека sinα = -0,6 и α е ъгълът на третата четвърт. Намерете cos2α; sin2α; tg2α
8. Нека cosα = -0,8 и α е ъгълът на втората четвърт. Намерете cos2α; sin2α; tg2α
9. Докажете самоличността
2. 7. Преобразуване на тригонометрични изрази.
1. -tg 2 α - sin 2 α +
3. –ctg 2 α – cos 2 α +
5.tg 2 α + sin 2 α -
6. ctg 2 α + cos 2 α -
7. (sinα + cosα) 2 - sin2α
8. 
9. 
10. sin 4 α - cos 4 α + cos 2 α
11. (3 + sinα)(3 - sinα) + (3 + cosα)(3 - cosα)
13. 
14. (ctgα + tgα)(1 + cosα)(1 – cosα)
Форма за отчитане.Бумащина. Самостоятелна работаза всяка секция.
Тестови въпроси.
1. Дефинирайте основните тригонометрични функции
2. Запишете формули, свързващи стойностите на тригонометричните функции на един аргумент
3. Как знаците на тригонометричните функции зависят от координатната четвърт.
4. Стойности на тригонометричните функции на основните ъгли.
5. Основно тригонометрично тъждество, връзка на тангенс и косинус, връзка на котангенс и синус, произведение на тангенс и котангенс.
6. Формули за редукция
7. Формули за двоен ъгъл.
8. Формули за сбор и разлика на тригонометрични изрази
9. Формули за събиране.
Литература.лекции,
https://www.akademia-moskow.ru/ учебник М. И. Башмаков "Математика" Учебник, проблемник.
Оценка на резултатите от работата.
ПРАКТИКА #3
Тема:Тригонометрични функции и уравнения
Цел:разглеждане на всички възможни начини за трансформиране на графики на функции, научаване за решаване на тригонометрични уравнения, като се използват свойствата на обратните тригонометрични функции и формули за решаване на тригонометрични уравнения.
умения:
|
7. решава най-простите тригонометрични уравнения, техните системи, както и някои видове тригонометрични уравнения (квадратни по отношение на една от тригонометричните функции, хомогенни уравнения от първа и втора степен по отношение на cos x и sin x);
Времеви лимит: 9
Учебно-методическо оборудване на работното място:справочни таблици, раздавателни материали, работни папки.
Напредък.
1. Преобразуване на графики на тригонометрични функции.
Начертайте функцията
а) y = -2sin (x + ) -1
б) y = 2sin (x + ) +1
в) y = 2cos (x + ) -1
г) y \u003d -2cos (x + ) - 1
д) y = -2cos (x + ) -1
е) y = -2sin (x + ) -1
g) y = 2cos (x + ) + 1
з) y = -2sin (x + ) +1
i) y = 2sin (x + ) -1
2. 
Дори и странни функции. Периодичност.
Определете паритета на функция
а) f(x) = x 2 + 3x + 1
в) f(x) = sinx
г) f(x) = 2x 2 - 3x 4
д) f(x) = 4x 2 + x - 9
д) f(x) = x + 3x 3
i) f(x) = sin x +3
3. Арксинус, аркосинус, арктангенс на число
Изчисли:
Намерете стойността на израза:
1. arcsin 0 + arccos 0
2.arcsin + arccos
3. arcsin(-)+arccos
4. arcsin(-1) + arccos
5. arccos 0,5 + arcsin 0,5
6. arccos(-) - arcsin(-1)
7. arccos(-) + arcsin(-)
8. arccos - arcsin
9. 4 arccos(-) - arctg + arcsin
10. 2arccos - arcsin(-) + 3arctg 1
11. 3arcsin + arccos - 2arcсtg 1
12. arcsin + 6 arccos(-) + 9arctg
13. -2 arccos(-) - arcсtg + arcsin
14. arccos + arcsin + arcg
15. 
16. 
Сравнете изрази
а) arcsin или arcsin 0,82
б) arccos(-) или arccos
4. Решаване на тригонометрични уравнения
Решете уравненията:
1. sin x - 2 cos x \u003d 0.
2. sin 2 x - 6 sin x cos x + 5 cos 2 x \u003d 0.
3. cos 2 x + sin x cos x = 1
4. sin 3x + sin x = sin 2x
5. cos2x + sinx cosx=1
6. 4xin2x-cosx-1=0
7. 2xin 2x+3 cosx=0
8. 2cos2x − 3sinx=0
9. 2 sin 2 x + sinx - 1 = 0
10. 6sin 2x + 5cosx - 2 = 0
Форма за отчитане.Бумащина.
Тестови въпроси.
1. Графиките на кои тригонометрични функции минават през началото?
2. Кои от тригонометричните функции са четни?
3. Как да извършим транслация по оста OX?
4. Как да извършим транслация по оста y?
5. Какво се нарича арксинус на число а?
6. Кои тригонометрични уравнения нямат решения?
7. Избройте специални случаи на уравнението.
8. Запишете го обща формулакорените на уравнението.
Литература.лекции,
информация - система за търсенеинтернет
https://www.akademia-moskow.ru/ учебник М. И. Башмаков "Математика" учебник
Оценка на изпълнението:Селективна оценка. Тестпо тази тема
ПРАКТИКА #4
Напредък.
Паралелизъм в пространството
Решаване на проблеми на взаимно споразумениеправи линии и равнини.
Отговорете на въпроса и довършете рисунката.
1. Правите m и n лежат в една равнина. Могат ли тези прави да се пресичат, да са успоредни, могат ли да се пресичат?
2. Правите b и c се пресичат. Как е разположена линия b спрямо права d, ако c||d?
3. Дадени са пресичащи се прави c и d. Как може да бъде разположена линията с m спрямо m, ако m d?
4. Правите b и d се пресичат. Как е правата b спрямо c, ако c и d се пресичат?
5. Дадени са пресичащи прави m и n. Как може правата m да бъде разположена спрямо правата c, ако c и n се пресичат?
II. Довършете чертежа и попълнете таблицата.
AVSDA 1 V 1 S 1 D 1 - куб. точки L,N,Tса средите на ръбовете B 1 C 1 , C 1 D 1 и DD 1. K е пресечната точка на диагоналите на лицето AA 1 BB 1 . Попълнете таблицата с местоположението на линиите:
пресичат се;
II - паралелен;
кръстосвам се
В тетраедъра ABCD построете сечение, минаващо през точка M, лежаща на ръба AB и успоредна на правите AC и BD
Перпендикулярност в пространството
Решаване на задачи за перпендикулярност на права и равнина
1. Отговорете на въпроси за сигурност:
един). Запишете определението за перпендикулярност на права и равнина (с изображение).
2). Запишете знак за перпендикулярност на права и равнина (с картинка).
3). Запишете теоремата върху 3 перпендикуляра (с картинка).
четири). Запишете определението за перпендикулярност на равнините.
Задача номер 2.
1 вариант
1. Точки K, E, и O лежат на права, перпендикулярна на равнината α, а точките O, B, A и M лежат в равнината α. Кои от ъглите са прави: ∠BOE, ∠EKA и ∠KBE.
3. В тетраедъра DABC ръбът AD⊥ΔABC. ΔABC - правоъгълна, ∠С=90°. Построете (намерете) линейния ъгъл на двустенния ъгъл ∠DВСА.
4. Отсечка BM⊥ към равнината на правоъгълника ABCD. Определете вида на ΔDMC.
5. Правата BD е перпендикулярна на равнината ΔABC. Известно е, че BD=9 см, AC=10 см, BC=BA=13 см. Намерете разстоянието от точка D до правата AC.
Вариант 2
1. Точките K, E и O лежат на права, перпендикулярна на равнината α, а точките O, B, A и M лежат в равнината α. Кои от следните ъгли са прави: ∠MOK, ∠OKV и ∠AOE.
2. Намерете диагонала на правоъгълен паралелепипед, ако размерите му са равни.
3. В правоъгълен паралелепипед са начертани диагоналите B 1 D и B 1 C. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Построете (намерете) линейния ъгъл на двустенния ъгъл ∠B 1 DCB.
4. Отсечка CD⊥ към равнината на правоъгълник ΔABC, където ∠B=90°. Определете вида на ΔABD.
5. Правата SA е перпендикулярна на равнината на правоъгълника ABCD. Известно е, че SC=5 cm, AD=2 cm, а страната AB е 2 пъти по-голяма от AD. Намерете разстоянието от точка S до правата DC.
Форма за отчитане.Бумащина
Тестови въпроси.
1. Кои прави в пространството се наричат успоредни?
2. Формулирайте знак за успоредни прави.
3. Какво означава: права линия и равнина са успоредни?
4. Формулирайте признак за успоредност на права и равнина.
5. Какви равнини се наричат успоредни?
6. Формулирайте знак за успоредност на равнините.
7. Избройте свойствата на паралелния дизайн.
8. Свойства на успоредните равнини.
9. Кои прави в пространството се наричат перпендикулярни?
10. Какво е перпендикуляр, пуснат от дадена точка към равнина?
11. Какво се нарича разстоянието от точка до равнина?
12. Какво е наклонена, прекарана от дадена точка към равнина? Какво е наклонена проекция?
13. Формулирайте теоремата за три перпендикуляра.
Литература.лекции,
информация - система за търсене в Интернет
https://www.akademia-moskow.ru/ учебник М. И. Башмаков "Математика" учебник
Оценка на изпълнението:Селективна оценка. Контролна работа по темата
ПРАКТИКА #5
Тема:корен. Степен. Логаритъм.
Цел:научите как да извършвате трансформации на ирационални, степенни, логаритмични изрази; решава най-простите ирационални, експоненциални и логаритмични уравнения, системи от уравнения, неравенства.
Знания:
- нови термини на математическия език: степен с рационален показател, степенна функция, ирационален израз;
- свойства на степенна функция, нейна графика.
- нови термини на математическия език: експоненциална функция, експоненциално уравнение, експоненциално неравенство, логаритъм от число, основа на логаритъм, логаритмична функция, логаритмично уравнение, логаритмично неравенство, експонента, логаритмична крива;
- основни свойства и графики на логаритмичните и експоненциални функции;
- формули, свързани с понятието логаритъм, експоненциална и логаритмична функции.
Умения
5. изгражда графики на експоненциални и логаритмични функции по дадена основа; 6. описва поведението и свойствата на експоненциалната и логаритмичната функции по графика, а в най-простите случаи по формула; ; ;2. ; ; ; ; ; ; ; ; ; Ирационални уравнения Решете уравнението |
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА САХАЛИНСКАТА ОБЛАСТ
ГБПОУ "СТРОИТЕЛНА ТЕХНИКА"
ПРАКТИЧЕСКИ РАБОТИ ПО ПРЕДМЕТА "МАТЕМАТИКА"
Глава: Основи на тригонометрията. тригонометрични функции.
съставен от:
Учител
Казанцева Н.А.
Южносахалинск-2017
Практическа работаматематикапод раздела "» и методиченуказанията за изпълнението им са предназначени за студентиGBPOU Сахалински строителен колеж
Компилатор : Казанцева Н. А., учител по математика
Материалът съдържа практическа работа по математикапод раздела "Основи на тригонометрията. Тригонометрични функции» и инструкции за изпълнението им. Насокисъставен в съответствие с работна програмапо математика и са предназначени за студентиСахалински строителен колеж, студенти в общообразователни програми.
Практически урок №1 .Радианова мярка за ъгъл. Ротационно движение…………………………………………………………………………3
Практически урок номер 2. Синус, косинус, тангенс и котангенс на число…………………………………………………………………………...3
Практически урок номер 3. Основните формули на тригонометрията и тяхното приложение………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………
Практика #4 . Синус, косинус и тангенс на сбора и разликата на два ъгъла……………………………………………………………..5
Практика #5 . Прилагане на формули за редукция……….6
Практика #6 . Изчисляване на синус, косинус, тангенс на двоен ъгъл………………………………………………………………….7
Практика #7 . Периодичност на тригонометричните функции…………………………………………………………………………..7
Практически урок номер 1.
Радианова мярка за ъгъл. Ротационно движение.
Цели: за консолидиране на уменията и способностите за решаване на проблеми по темата: „Радианната мярка на ъгъл. Ротационно движение.
Оборудване:
Инструкция. Първо, трябва да повторите теоретичния материал по темата: „Радианната мярка на ъгъл. Ротационно движение”, след което можете да преминете към изпълнение на практическата част.
1. Изразете ъглите в радиани: 2. Експресно в степенна мяркаъгли:Практически урок номер 2.
Синус, косинус, тангенс и котангенс на число.
Цели: за консолидиране на уменията и способностите за решаване на проблеми по темата: "Синус, косинус, тангенс и котангенс на число."
Оборудване: учебна тетрадка, химикал, насокиза извършване на работа
Инструкция. Първо трябва да повторите теоретичния материал по темата: „Синус, косинус, тангенс и котангенс на число“, след което можете да преминете към практическата част.
Не забравяйте за правилния дизайн на решението.
Задачи за практическа работа:
а) 4 грях + - tg; б) 3 грях + - tg;
на 5 грях +3 tg -5 – 10 ctg; G) грях∙ − tg;
д) ;д) грях∙ - грях∙ ;
и) .
намирам числова стойностизрази:
а) грях+ - ; б) 3 грях + - ;
на 6 грях- 2+; г) 3 tg - + ;
D 2.
Практически урок номер 3.
Основни формули на тригонометрията и тяхното приложение.
Цели: за консолидиране на уменията и способностите за решаване на проблеми по темата: „Основни формули на тригонометрията“.
Оборудване: тетрадка за практическа работа, химикал, указания за изпълнение на работата
Инструкция. Първо, трябва да повторите теоретичния материал по темата: "Основни формули на тригонометрията", след което можете да преминете към практическата част.
Не забравяйте за правилния дизайн на решението.
Задачи за практическа работа:
ако cosα = , < α < 2 π
Изчислете стойностите на другите три тригонометрични функции,
ако гряхα = , π < α <
Опростете:
а) (1 )(1+)
б) 1 +
Опростете:
а) (1+)
б) 1 +
Практически урок номер 4.
Синус, косинус и тангенс на сбора и разликата на два ъгъла.
Цели: за консолидиране на уменията и способностите за решаване на проблеми по темата: "Синус, косинус и тангенс на сумата и разликата на два ъгъла."
Оборудване: тетрадка за практическа работа, химикал, указания за изпълнение на работата
Инструкция. Първо трябва да повторите теоретичния материал по темата: „Синус, косинус и тангенс на сбора и разликата на два ъгъла“, след което можете да преминете към практическата част.
Не забравяйте за правилния дизайн на решението.
Задачи за практическа работа:
азопция за практическа работа
Намерете числовата стойност на израз: а) с с 135 0 ;б) грях 150 0 ;
в) tg 240 0 .
а) с с 240 0 ;
б) грях 120 0 ;
в) tg 135 0 .
IIопция за практическа работа
Намерете стойността на израз:cos107 0 ∙ cos17 0 + грях107 0 ∙ грях17 0 ;
защото 36 0 ∙ защото 24 0 ˗ грях 36 0 ∙ грях 24 0 ;
грях 63 0 ∙ cos 2 7 0 +cos63 0 ∙ грях 2 7 0 ;
грях51 0 ∙ защото 21 0 защото 51 0 ∙ грях 21 0 .
Намерете стойността на израз:
cos∙ cos + sin∙ грях;
cos∙ cos˗sin∙ грях;
грях∙ cos+cos∙ грях;
грях 0 ∙ cos˗cos∙ грях.
Изчисли:
А) ;б);
AT); G) .
Опростете израза:
а) ; б ) ; в) .
Практически урок номер 5.
Приложение на редукционни формули.
Цели: за консолидиране на уменията и способностите за решаване на проблеми
Понастоящем всеки учител по математика си поставя задачата не само да информира учениците за определено количество знания, да запълни паметта им с определен набор от факти и теореми, но и да научи учениците да мислят, да развиват своята мисъл, творческа инициатива и независимост .
Значителна част от курса по алгебра е посветена на изучаването на функциите и техните свойства. И това не е случайно. Уменията, придобити от учениците в изучаването на функциите, са от приложен и практически характер. Те намират широко приложение при изучаването както на курса по математика, така и на други училищни предмети - физика, химия, география, биология, и намират широко приложение в практическата човешка дейност. Успехът на усвояването на много раздели от училищния курс по математика зависи от това как учениците са усвоили съответните умения. Анализът на теоретичния и задачния материал ни позволява да разграничим две групи умения, чието формиране трябва да се следи внимателно при изучаването на всички видове специфични функции - умение за работа с формула, която определя функция, и умение за работа с графика на тази функция. Най-важното във функционалното обучение на учениците е формирането на графични умения.
Графиката е визуално помагало, широко използвано при изучаването на много въпроси в училище. Функционалната графика действа като основно референтно изображение при формирането на редица понятия - нарастващи и намаляващи функции, четни и нечетни, обратимост на функцията, концепцията за екстремум. Без ясни и съзнателни идеи на учениците за графиките е невъзможно да се привлече геометрична яснота при формирането на такива централни понятия на курса по алгебра и началото на анализа като непрекъснатост, производна, интеграл. Студентите трябва да развият силни умения както в чертането, така и в четенето на графики на функциите.
Необходимата основа за последващо прилагане на функционален материал са силните самостоятелни умения на учениците да четат графики на функции. Те трябва да могат да отговарят уверено и свободно на редица въпроси, използвайки графиката:
- по дадената стойност на една от променливите x или y определя стойността на другата;
- определят интервалите на нарастване и намаляване на функцията;
- определяне на интервали на постоянство на знака;
- посочете стойността на аргумента, при която функцията приема най-голямата (най-малката) стойност, и също така определете тази стойност.
Учениците трябва да прилагат графиките на изброените по-горе функции за графично решаване на уравнения, системи от уравнения, неравенства.
Възможно е да се формират силни умения за конструиране и четене на графики на функции, за да се гарантира, че всеки ученик може да изпълнява основните типове задачи самостоятелно, само ако учениците изпълняват достатъчен брой тренировъчни упражнения.
Този материал ви позволява да запомните графиките елементарни функцииучилищен курс за завършилите при подготовка за изпити или използван при обяснение на дадена тема. Техниките за конвертиране на графики са ясно показани.
Осъществяването на приемственост в обучението се състои в установяване на необходимите връзки и правилни взаимоотношения между частите на учебния предмет на различните етапи от неговото изучаване. В курса по алгебра и геометрия на основното училище се поставя солидна основа за изучаване на математика. Успехът на изучаването на курс по математика в гимназията и следователно съзнателното прилагане на придобитите знания при решаване на конкретни проблеми зависи от това какви знания ще получат учениците в основното училище, какви умения и способности ще развият. Този въпрос е сложна педагогическа задача, нейното решение, както показва опитът, трябва да се разглежда чрез подобряване на цялостния учебен процес и чрез стабилизиране на съдържанието на курса по математика и чрез ориентация на обучението към приложната ориентация на курса по математика и по-специално чрез подобряване на последователните връзки стъпка по стъпка изучаване на математика.
Значителна част от основния училищен курс по алгебра е посветена на изучаването на функциите и техните свойства. И това не е случайно. Понятието функция е от голямо практическо значение. Много от физическите, химичните, биологични процеси, без които животът е немислим, са функции на времето. Икономическите процеси също са функционални зависимости. Функциите играят важна роля в програмирането и криптографията, в проектирането на различни механизми, в застраховането, в изчисленията на якост и др.
В курса по алгебра и началото на математическия анализ в 10-11 клас е предвидено допълнително изучаване на елементарни функции и техните свойства. Формирането на функционални представяния е основното ядро на програмата и учебни помагалаза тези класове.
Практическата работа на учениците по алгебра е вид тяхната творческа дейност. Те ви позволяват съзнателно да изучавате въведените понятия и твърдения, да ги помните по-добре, да включвате всички видове памет в процеса и да допринасяте за повишаване на интереса към темата. на тема: „Преобразуване на графики на логаритмична (нарастваща) функция”.
